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欧几里得的成就有哪些?

  完全数
  
  此外,欧几里得在《几何原本》中还对完全数做了探究,他通过2^(n-1)·(2^n-1)的表达式发现头四个完全数的。
  
  当n=2:2^1(2^2-1)=6当n=3:2^2(2^3-1)=28当n=5:2^4(2^5-1)=496当n=7:2^6(2^7-1)=8128一个偶数是完全数,当且仅当它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1),此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。
  
  其中2^(n)-1是素数,上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^(n)-1的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完全数。在手算时代梅森素数可使人们更方便的计算完全数,在计算机时代更是得到了广泛深入的应用,计算机的CPU可以更方便的计算各种数。
  
  尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12p+1或36p+9的形式,其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。
  
  首五个完全数是:
  
  6
  
  28
  
  496
  
  8128
  
  33550336(8位)
  
  欧几里得算法
  
  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。[1]
  
  几何原本
  
  《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪到古希腊,一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史
  
  它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
  
  全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
  
  在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理、公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。
  
  而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。
  
  照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。对后世产生了深远的影响。
  
  人物着作
  
  他最着名的着作《几何原本》是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多二千年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。
  
  除了《几何原本》之外,他还有不少着作,可惜大都失传。欧几里得还有另外五本着作流传至今。它们与《几何原本》一样,内容都包含定义及证明。
  
  《已知数》(Data)是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何着作,体例和《原本》前6卷相近,包括94个命题。指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。
  
  《圆形的分割》(Ondivisionsoffigures)现存拉丁文本与阿拉伯文本,论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分,内容与希罗(HeronofAlexandria)的作品相似。
  
  《反射光学》(Catoptrics)论述反射光在数学上的理论,尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人置疑这本书是否真正出自欧几里得之手,它的作者可能是塞翁(TheonofAlexandria)。
  
  《现象》(Phenomena)是一本关于球面天文学的论文,现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯(AutolycusofPitane)所写的OntheMovingSphere相似。
  
  《光学》(Optics)早期几何光学着作之一,现存希腊文本。这本书主要研究透视问题,叙述光的入射角等于反射角等。认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些着作未能确定是否属于欧几里得,而且已经散失。
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